Я пролистал инструкцию по эксплуатации и не нашел описания отдельного сигнала при разряде АКБ

Этого нет в инструкции.

Преимущество такого типа блокировки. 

Маленький размер , что позволяет скрытно установить.

Нет необходимости тратить время на поиск цепи блокировки.

Отсутствие радио канала ( реле с системой ВТ и другие) повышает надежность работы с центральным блоком. 

Нельзя выявить причину блокировки диагностическим оборудованием.

Стоимость ниже чем радио реле.

Готовая плата с STM32F103  и CAN трансивер tja1040.

Это для себя, для души.

Для клиентов лучше   использовать системы с модулями расширения.

Сигнализация у Вас сработала от разряда аккумулятора (может быть что-то забыли выключить). Необходимо проверить ток утечки автомобиля.

Поворачивал ключ в замке зажигания, приборка тухла и стартер не крутил.

После этого случайно аварийка или габариты не моргали?

Теперь вопрос видит ли зажигание сигнализация, откройте дверь дождитесь когда сирена перестанет кричать, включите зажигание если сирена закричит  то зажигание видит. ( может там секретка  стоит по зажиганию) 

Второй вопрос исправна кнопка? При нажатии на неё светодиод должен загораться.

Какой автомобиль?

Это устройство состоящее из CAN контроллера.

Снимите видио как Вы выключаете его.

Сигнализация должна увидеть открытую дверь иначе не будет работать снятие с кнопки.

алгоритм   Открыта дверь - зажигание включено -3 раза кнопка - зажигание выключено.