Здравствуйте. Нужно посетить установщиков для диагностики работы системы. Мастер начнет с проверки настроек блока и настроек CAN модуля. Далее проверит работу обхода штатного иммобилайзера.

если завести машину автозапуском изнутри (поднести ключ к кнопке старт-стоп), то автозапуск работает.

можно ли переобучить штатный иммобилайзер самостоятельно (с использованием сервисной кнопки?)

Здравствуйте. На автомобиле, который указан в Вашем профиле используется либо запуск по CAN, на который не влияет ключ рядом с кнопкой, либо классический запуск имитацией нажатия кнопки и с одним из ключей внутри. 

Судя по тому что при поднесении ключа к кнопке автозапуск работает, может быть использован запуск не по CAN, а аналоговыми сигналами. В таком случае обход физический, а не цифровой. 

Для точного ответа нужно посетить установщиков. Мастер проверит выполненные подключения и настройки.