Правильность подключения стояночного тормоза

Дмитрий, Вам не ответить в двух словах. БукаФ будет много, придется осилить.

Правильно ли поступил установщик автосигнализации или нет?

Это не выяснить, пока не будет произведен осмотр сделанных им подключений и настроек сигнализации. Вариантов, особенно с учетом АМТ -   не один. Причем не все из них НЕВЕРНЫЕ. Просто в зависимости от сделанных подключений/настроек будет слегка отличаться ПРОЦЕДУРА ПРОГРАММНОЙ НЕЙТРАЛИ. И всего-то. Гланое - чтобы машина НЕ ПОЕХАЛА САМА на передаче. Если это условие выполнятется, то грубых ошибок не допущено.

Что касается

В ходе эксплуатации выяснилось, что автомобиль можно завести дистанционно с нажатой педалью тормоза.

вероятнее всего не сделан контроль педали СТОП как раз из-за того, что машина с АМТ и надо делать КОНТРОЛЬ НЕЙТРАЛИ (а  сигнализация как говрится- ИЛИ-ИЛИ - или одно может контролироваать, или другое) - чтобы не допустить вот такого, как ЗДЕСЬ

Кроме того, если автомобиль не поставить на стояночный тормоз (АМТ в нейтрали) и попытаться его завести дистанционно машина выдает тревогу по стояночному тормозу.

А чем Вы собираетсь УДЕРЖИВАТЬ машину от покатушек от дуновения ветра под уклон, если у Вас нейтралка и ручник не поднят? Правильно делает, что выдает такую тревогу - зовет Вас к себе, чтобы Вы  обезопасили окружающих от Вашего автомобиля...

Запомните - если хотите автозапуск, то рычаг КПП - В НЕЙТРАЛКЕ и РУЧНИК ПОДНЯТ - по другому никак.

На брелке при не затянутом стояночном тормозе, иконка (Р) при постановке на охрану сигнализации сначала появляется и через некоторое время пропадает.

Так сделано в последних версиях прошивок по многочисленным просьбам "телезрителей", чтобы не будоражить владельца, если ему автозапуск не нужен, он покинул автомобиль без подъема ручника и на передаче (с неработающим моторм при покидании)...

В автосалоне мне сказали, что они не использовали схему, которая шла в коробке, ссылаясь на то, что схема обобщенная и не подходит для данного авто.

В общем и целом верно сказали - машина с АМТ - особый случай. Это не совсем МКПП, но и до АКПП ей далеко... А на плакате в коробке - варианты для МКПП и АКПП (наиболее распространнные типы трансмиссий.) ДЛя АМТ есть спец схема в спецразделе на сайте для установщиков с учетом использования обхода иммо по CAN.

И есть ли решение моей проблемы?

Пока не вижу проблемы. Есть не знание особенностей автозапуска на машине, кторая может самопроизвольно поехать НА ПЕРЕДАЧЕ... 

Если я вечером не затянул ручник и попытался с утра дистанционно завести ее - бужу всех соседей.

Если Вы хотите автозапуск, то ПРИДЕТСЯ ПРИВЫКАТЬ затягивать ручник. Ну или надо покупать машину с АКПП. Там таких особенностей нет, так как машина не отдаст ключ из замка зажигания, пока Вы не переведете рычаг в положение ПАРКИНГ, а в этом положении - машина сама не поедет никогда и автозапуск становится безопасным без выполнения ПРОГРАММНОЙ НЕЙТРАЛИ, одним из условй которой явялется ПОДНЯТИЕ РУЧНИКА...

Прочтите пожалуйста в инструкции  в разделе АВТОЗАПУСК и  особенности его осуществления на машинах с МКПП. На машине с АМТ это всё тоже требуется выполнять...