не глохнет после автозапуска

Проблема описана неточно. Судя по всему - всё-таки ГЛУШИТСЯ с брелока, но ДАЛЬНОСТЬ связи ПАДАЕТ (именно в этом проблема)  и можно это сделать только "в упор".

А сам автомобиль после того, как истечет время запуска заглохнет самостоятельно. Это наверняка...

Если дальность приличная при условии, что мотор не заведен, то вывод очевиден - при запуске мотора на борту машины появляется источник РАДИОПОМЕХ, который работает "глушилкой" для канала связи сигнализации.

Если в прикуривателе воткнуты китайские блоки питания навигаторов-регистраторов, то надо начать с их выдергивания и проверки - изменится-ли дальность связи или нет. Кроме этого помехи могут создавать нештатный китайский ксенон, Светодиодные ДХО, если они установлены с блоком управления-стабилизатором питания ДХО (именно оно и фонит). Может создавать помехи магнитола. если она нештатная.

Надо вернуться по месту установки и вместе с ними  найти ИСТОЧНИК ПОМЕХ или устранить другую причину, вызывающую падение дальности связи.

Один из способов (если дело в китайских гаждетах в прикуривателе) - отключить на замке зажигания ДУБЛИРОВАНИЕ провода АСС силовым модулем сигнализации  (если оно сделано на текущий момент) - тогда на автозапусках не будет включаться магнитола и запитываться гнездо прикуривателя (печка работать будет). Это полезно со всех точек зрения, в том числе - меньше вероятность пожара того.,что воткнуто в прикуриватель без Вашего присутствия  в салоне