Это Slave?

При нажатии кнопок открыть/закрыть штатного ключа, А93 соответственно снимается/встаёт в охрану

Да, это Slave.

А как заставить работать штатный ключ при пущенном двигателе?

Обратитесь к специалисту который устанавливал вам сигнализацию.

Попробовал изъять батарейку из брелка и открыть штатным ключом - машина не  мявкнула. Так же не должно быть?

Добрый вечер.

Это свидетельствует о том, что авторизация владельца по метке (брелоку) неактивна. Обратитесь к установщику для активации авторизации владельца.