Глючит брелок а61

После проделанных Вами экспериментов сложно предалгать кикие-либо действия, кроме как СДАТЬ брелок на диагностику-РЕМОНТ в ближайший сервис-центр Ультрастар. К сожалению в  Смоленске  такого центра нет. Нужно связаться с ближайшим и выяснить условия сдачи брелока (возможна-ли пересылка по почте и т.д.).

Ну или пытаться ДОБИТЬ брелок,  а потом купить НОВЫЙ ЗДЕСЬ...

не работают все кнопки, при нажатии нет значка антенны.

можно было-бы предложить перепаять все кнопки. (Нужен мастер, умеющий паять такие мелкие и такие нежные детальки в таком плотном монтаже и нужны кнопки... Подсказка - могут помочь в радиомастерсокй или в мастерской состовых телефонов)...

Но Вы пишете

При передергивании батарейки и верхней платы с антенной основной брелок начинает нормально работать на срок от пары часов до нескольких дней, потом глюки возвращаются. 

 и значит дело не в самих кнопках... Брелок точно ОРИГИГАЛЬНЫЙ (родной от сигналки)? или куплен на замену потерянному/сломанному на АЛИэкспресс? Если китайча - то чинить бесполезно и бессмыссленно... И сервис-центр его в ремонт не возьмет...

что касается

Брелок периодически пищит

С этим сложнее. Надо успеть посмотреть на экран, когда пищит - может что покажет на экране... А пищание  и другие чудеса (в том числе оживание после перезагрузки батарейки) характерны для китайчи...

и пару раз сам закрывал дверь.

Сам вряд-ли закроет . Скорее - это без его участия произошло... Или возврат в охрану по неоткрытию двери или штатка заперла машину (если клюд от машины с кнопками на нем)...

В чем проблема? В верхней плате брелка с антенной, кварце? 

Заочно на эти вопросы никто не ответит. Экстрасенсов здесь нет...

Она продается отдельно? 

Нет, только в запчасти для сервис-центров...