Не работает подсветка приборной панели и печки.

Надо полагать - у Вас при постановках на охрану машина мигает не фонарями поворотов, а фонарями габаритов? 

А на автозапусках у Вас запрограммировано СВЕЧЕНИЕ фонариков габаритов (возможно и фары тоже горят на автозапуске...) Если ДА, то

При извлечении ключа из гнезда подсветки загораются, если вставить ключ обратно и начать движение, то происходит троекратное мигание и приборка с подсветкой климата гаснут.

Это у Вас происходит ПОДХВАТ зажигания в рамках программной нейтрали с включением фонариков  индикации подхвата свечением фонариков. 

Вывод - лампочки исправны, проводка до них тоже исправна, во всяком случае от ого места, куда к цепи габаритов подключена сигнализация. 

Теперь осталось проверить - а при включении ГАБАРИТОВ на подрулевом переключаете приборка подсвечивается или нет? А фонарики габаритов снаружи машины?

Если НЕТ, то ищем сожженый предохранитель TAIL (габариты), Если от ручки "габариты" приборка подсвечивается, но не светится при выключенной этой ручке, то есть вопрос - а у вас что - приборка ОПТИТРОН? На машине 1997 года?

Ну и это.... Сигналка тут ни при чем. Есть проблема в проводке машины... Если предохранитель TAIL целый, то надо искать пропавший контакт в проводке старушки (я о машине). С этим к автоэлектрику...

И еще - просто так предохранители не сгорают.. Значит в проводке где-то есть и КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ.  

И история может повториться... Пусть электрик ищет и его (КЗ) тоже..

Что касается

 при этом фары ближнего и дальнего света функционируют.

то на фары - свои предохранители... На каждую - отдельный...