при работающем автозапуске не работает безключевой доступ.

Почитайте инструкцию. Ваша сигнализация управляется только брелком. Можно исправить заменой на другую модель.

при работающем автозапуске не работает безключевой доступ.

Неверное изложение ситуации. Правильно так:

при работающем МОТОРЕ не работает бесключевой доступ. Это особенность электроники автомобиля. Заведите мотор не через сигнализацию, а ШТАТНО - кнопкой Start в салоне. И попробуйте отпереть/запереть машину кнопками на ключе-метке от машины. У Вас ничего не выйдет. МАШИНА понимает - она заведена и нельзя БЛОКИРОВАТЬ ЦЗ, а то мало-ли - вдруг владелец выскочит  наружу - как он потом попадет вовнутрь, если метку оставит внутри, а выскочить сумеет так, что механизм замка двери останется в заблокированном состоянии (а такое возможно).

А если рассмотереть ситуацию под другим углом? Может и неплохо, что бесключевой доступ, так или иначе подверженный взлому граббером ВОЛНА не работает при заведенном моторе. А то ведь так можно и преступников впустить через "дыру" в охране. А мотор-то уже заведен. Вот они обрадуются...

Так что дело не в сигнализации, а в особенностях алгоритмов бесключевого доступа. ШТАТНЫХ алгоритмов, написанных программистами завода изготовителя автомобиля...

Для открытия машины надо нажимать кнопку на брелке сигнализации

Да, и слава богу, что хоть так можно попасть в машину с запертыми замками и работающим мотором, ОБОЙДЯ алгоритм штатной системы управления замками...

 Можно это исправить?

 А сильно надо? Если сильно надо, то варианты есть. Правда надо искать специалиста, который возьмется резать проводку авто на свой страх и риск. А может и не проводку, а печатные проводники-дорожки в блоке электроники автомобиля. И запросит он за этот риск энную сумму.