верно

завожу с сайта , тут же с приложения в виде push-уведомления приходит "двигатель запущен"

приложение только на одном устройстве(телефон), сайтом пользуюсь и с этого же устройства(этот же телефон) , и с другого ПК. 

ПК и тел на разных подключениях к интернету.

Возможно не обратили внимания - при неудачном АЗ с приложения статус встаёт "НЕ В СЕТИ". Может это как то прояснит ситуацию.

Т.е. захожу в приложение , статус "В СЕТИ" , нажимаю кнопку автозапуска .... идёт таймер , через ~30 сек выходит ошибка и приложение меняет статус на "НЕ В СЕТИ"

проверено неоднократно , местонахождение авто или телефона не влияет.

если приложение выдаёт ошибку , то  авто не реагирует

если ошибки нет , то авто заводится без проблем