Вчера один раз получилось завести с ключа, но я не заметил, как. Каким было положение ключа до этого и тд.

вполне возможно, что пустышка. Хотя, сейчас погуглил - штатный иммобилайзер вроде есть

Сбрасывать на заводские или перепрописывать брелок смысла нет?

Насколько я понимаю, сигналка должна блокировать стартер, то есть крутить он вообще не должен, но он крутит (что, кстати, исключает вариант с контактной группой). Это и странно.