Спасибо Вам, Иван, за оперативную помощь.
С СИМкой, которую Вы дали, всё заработало. И СМС и онлайн.

Вставил симку в тестовый телефон, и зашёл в настройки. В настройках только СМС-центр МТС.
К сожалению, симка с вырезом, пробовал наклеить на неё скотч для цельности и лучшего прижатия. Но опять же, связь-то не теряется, голосовой доступ работает всегда, и СМС в сторону сигнализации уходят, доходят и исполняются. 
Пока что заменить могу аналогичной МТС.
Попробую взять другую симку другого оператора.

4) проверил биллинг номера авто.
По авто - входящие смс и вызовы есть, исходящие вызовы есть.Интернет-трафика нет.
С тестового телефона - входящие смс и вызовы есть, исходящие смс и вызовы есть. Интернет-трафик есть.