Огромное спасибо за такой развернутый ответ!

Проблема оказалась даже не в обходчике, а в чипе. С родным ключом в обходчике все прекрасно заводится. С другим чипом авто заводится, если вложить его в ключ, но с автозапуска не стартует. Итог: китайские чипы с алиэспресс таят много неожиданностей.